Question

如图，E为正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，点F在CD上，且EF⊥BD．
求证：DE=CF．

Answer 1

分析：利用“HL”证明Rt△BEF和Rt△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=CF，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BDF=45°，然后求出∠DFE=45°，从而得到∠BDF=∠DFE，根据等角对等边的性质可得DE=EF，从而得证．

解答：证明：在正方形ABCD中，∠C=90°，
∵EF⊥BD，
∴∠BEF=90°，
∴∠C=∠BEF=90°，
在Rt△BEF和Rt△BCF中，

BF=BF BE=BC

，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=CF，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDF=45°，
∴∠DFE=90°-45°=45°，
∴∠BDF=∠DFE，
∴DE=EF，
∴DE=CF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，证明得到Rt△BEF和Rt△BCF全等是解题的关键．