Question

如图，已知直线y=-

3

4

x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求△AOB的面积；
（2）求点C坐标；
（3）点P是x轴上的一个动点，设P（x，0），
①请用x的代数式表示PB²、PC²；
②是否存在这样的点P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请直接写出点P的坐标

（-21，0）

．

Answer 1

分析：（1）由直线y=-

3

4

x+3得出OA、OB，可求△AOB的面积；
（2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据△ABC为等腰直角三角形证明△OAB≌△DCA，得出CD=OA，AD=OB，确定C点坐标；
（3）①设P（x，0），可知PD=7-x，在Rt△OPB，Rt△PCD中，利用勾股定理求PB²、PC²，
②存在这样的P点．当PB与PA成一直线时，|PC-PB|的值最大．

解答：解：（1）由直线y=-

3

4

x+3，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，
所以，S_△AOB=

1

2

×4×3=6；

（2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，
∴△OAB≌△DCA，
∴CD=OA=4，AD=OB=3，则OD=4+3=7，
∴C（7，4）；

（3）①由（2）可知，PD=|7-x|，
在Rt△OPB中，PB²=OP²+OB²=x²+9，
Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²=（7-x）²+16=x²-14x+65，
②存在这样的P点．
延长BC交x轴于P，
设直线BC解析式为y=kx+b，将B、C两点坐标代入，得

b=3 7k+b=4

，
解得

k= 1 7 b=3

，
所以，直线BC解析式为y=

1

7

x+3，
令y=0，得P（-21，0），此时|PC-PB|的值最大，
故答案为：（-21，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形求C点坐标，由勾股定理求线段长的平方，由三角形三边关系求|PC-PB|最大值．