Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．

Answer 1

【答案】（1）m≥﹣；（2）m＝2．

【解析】

（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．

（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，

解得m≥﹣；

（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，

因为x1x2＝m2+2＞0，

所以x12+x22＝31+x1x2，

即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，

所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，

整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，

而m≥﹣；

所以m＝2．