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8.已知a是大于1的实数,且有a3+a-3=p,a3-a-3=q成立.
(1)若p+q=4,求p-q的值;
(2)当q2=22n+$\frac{1}{{2}^{2n}}$-2(n≥1,且n是整数)时,比较p与(a3+$\frac{1}{4}$)的大小,并说明理由.

分析 (1)根据已知条件可得a3=2,代入可求p-q的值;
(2)根据作差法得到p-(a3+$\frac{1}{4}$)=2-n-$\frac{1}{4}$,分三种情况:当n=1时;当n=2时;当n≥3时进行讨论即可求解.

解答 解:(1)∵a3+a-3=p①,a3-a-3=q②,
∴①+②得,2a3=p+q=4,
∴a3=2;
①-②得,p-q=2a-3=$\frac{2}{{a}^{3}}$=1.

(2)∵q2=22n+$\frac{1}{{2}^{2n}}$-2(n≥1,且n是整数),
∴q2=(2n-2-n2
∴q=2n-2-n
又由(1)中①+②得2a3=p+q,a3=$\frac{1}{2}$(p+q),
①-②得2a-3=p-q,a-3=$\frac{1}{2}$(p-q),
∴p2-q2=4,
p2=q2+4=(2n+2-n2
∴p=2n+2-n
∴a3+a-3=2n+2-n③,
a3-a-3=2n-2-n④,
∴③+④得2a3=2×2n
∴a3=2n
∴p-(a3+$\frac{1}{4}$)=2n+2-n-2n-$\frac{1}{4}$=2-n-$\frac{1}{4}$,
当n=1时,p>a3+$\frac{1}{4}$;
当n=2时,p=a3+$\frac{1}{4}$;
当n≥3时,p<a3+$\frac{1}{4}$.

点评 考查了负整数指数幂:a-p=$\frac{1}{{a}^{p}}$(a≠0,p为正整数),关键是加减消元法和作差法的熟练掌握.

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