Question

（2006•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别与x轴，y轴交于点A，点B．
（1）以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆⊙M（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若⊙M与x轴的另一个交点为点D，求A，B，C，D四点的坐标；
（3）求经过A，B，D三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧．两弧相交于AB上方的C点，连接AC、BC，△ABC就是所求作的等边三角形．
作△ABC的外接圆时，可作任意两边的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心M；
（2）根据直线AB的解析式可求出A、B的坐标，此时可得出∠OBA=60°，那么AC∥y轴，因此C点的横坐标与A点的横坐标相同，C点的纵坐标是B点纵坐标的2倍据此可求出C点的坐标．连接BD，不难得出∠DBO=∠BAO=30°，由此可根据相似三角形OBD和OAB得出OB²=OD•OA，由此可求出OD的长，即D点的坐标；
（3）可根据（2）得出的A、B、D三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．已知了△ADP和△ADC的面积相等，那么P点的纵坐标的绝对值和C点的纵坐标相等，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹；

（2）由直线y=-x+1，求得点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，1）∴在Rt△AOB中，OA=，OB=1
∴AB=2，tan∠OBA=
∴∠OBA=60°
∴∠OAB=90°-∠OBA=30°
∵△ABC是等边三角形
∴CA=AB=2，∠CAB=60°
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°
∴点C的坐标为（，2），连接BM
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBA=∠ABC=30°
∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90°
∴OB⊥BM
∴直线OB是⊙M的切线．
∴OB²=OD•OA
∴12=OD•
∴OD=
∴点D的坐标为（，0）；

（3）设经过A，B，D三点的抛物线的解析式是y=a（x-）（x-）
把B（0，1）代入上式得a=1
∴抛物线的解析式是y=x²-x+1
存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积
点P的坐标分别为P₁（，2），P₂（，2）．
点评：本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决．