Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(2，0)，且与y轴交于C点.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合)，ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由.

(3)已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大，理由见解析；(3) 点P和点Q的坐标为P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).

【解析】

（1）将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入解析式即可解答

（2）令x＝0，y＝﹣1，得出C的坐标，再利用对称轴的性质得出C1，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入直线C1B解析式，得出直线C1B的解析式，设M(t，)，则 E(t，0)，F(0，)，根据矩形的面积公式即可解答

（3）根据题意可分情况讨论①当C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m，m+1)，Q(m，)，求出m即可解答；②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，PQ的中点为(0，0)，设P(m，m+1)，则Q(﹣m，)，求出m即可

(1)将A(﹣1，0)，B(2，0)分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：

∴该抛物线的表达式为：.

(2)在中，令x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1)

∵点C关于x轴的对称点为C1，

∴C1(0，1)，设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B(2，0)，C1(0，1)分别代入得，解得，

∴直线C1B解析式为，设M(t，)，则 E(t，0)，F(0，)

∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t()＝﹣(t﹣1)2+，

∵﹣＜0，

∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M(1，)；即点M为线段C1B中点时，S矩形MFOE最大.

(3)由题意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：

①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P(m，m+1)，Q(m，)，

∴|()﹣(m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)，

P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)

②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为(0，0)，

∴PQ的中点为(0，0)，设P(m，m+1)，则Q(﹣m，)

∴(m+1)+()＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，

∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)；

综上所述，点P和点Q的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).