Question

直线y=-x+7与y轴、x轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，顶点为C，直线AB与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求A、B坐标，并求抛物线的表达式；
（2）若点P以每秒1个单位长度的速度从点B沿x轴向点O运动，过P作PF∥CD交直线AB于点E，交抛物线于点F，设点P的运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示线段EF的长；当t取何值时线段EF有最大值，求出这个最大值；
②是否存在这样的t值，使得四边形EFCD是平行四边形？若存在则求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直线的解析式可以求出A、B的坐标，利用A、B的坐标根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）①先表示出P点的坐标，利用P点的横坐标就可以求出E点F点的坐标，利用E、F的总坐标就可以表示出EF的长度．然后化为顶点式就可以求出其最大值．
②利用对称轴与AB的交点就可以求出D点的坐标，利用C、D的坐标就可以求出CD的长度，再代入EF的解析式就可以求出其t的值．

解答：解：（1）令x=0，则y=7，
∴A（0，7）．
令y=0，则x=7，
∴B（7，0）．
把（0，7），（7，0）代入抛物线的解析式为：

7=c 0=-49+7b+c

，
解得

b=6 c=7

．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+6x+7；

（2）①设P（7-t，0）．
∴F（7-t，-t²+8t），E（7-t，t），
∴EF=-t²+8t-t，
即EF=-t²+7t（0≤t≤7），
∵EF=-（t-

7

2

）²+

49

4

，
∴当t=

7

2

时，EF有最大值

49

4

；
②抛物线y=-x²+6x+7的解析式变形为：
y=-（x-3）²+16，
∴顶点C（3，16）．
当x=3时，y=-3+7，y=4，
∴D（3，4），
∴CD=12，
∴P点在对称轴的右侧．
∵四边形EFCD是平行四边形，
∴CD=EF=12
∴-t²+7t=12，
解得t=3或t=4（舍去）
∴满足条件t的值为3．

点评：本题考查了根据函数的解析式求交点坐标，根据点的坐标求函数的解析式，平行四边形的判定及性质等多个知识点．