Question

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:y=+bx+c过点C(0,3),与抛物线L2:y=x+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点。

(1)求抛物线L1对应的函数表达式；

(2)若以点A. C.P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

Answer 1

【答案】（1）抛物线L1：y=-2x-3；（2）点P的坐标为（-1，0），（3,0）或（-）；

【解析】

（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；

（2）设点P的坐标为（x，x2-2x-3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线L2：y=x+2中，列出方程求得解便可.

(1) 将x=2代入y=x+2，得y=3，

故点A的坐标为（2，-3），

将A(2,-1), C(0,3)代入y=+bx+c，

得-3=+2b+c ，-3=0+0+c，

解得b=-2，c=-3，

∴抛物线L1：y=-2x-3；

（2）设点P的坐标为（x，-2x-3），

第一种情况：AC为平行四边形的一条边，

①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，-2x-3），

将Q（x+2，-2x-3）代入y=x+2得，-2x-3=-+2,

解得，x=0或x=-1，

因为x=0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，

此时点P的坐标为（-1，0）；

②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x-2， -2x-3），

将Q（x-2，-2x-3）代入y=x+2得， -2x-3=-+2,

解得，x=3，或x=-，此时P点的坐标为（3,0）或（-）；

第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，

由AC的中点坐标为（1，-3），得PQ的中点坐标为（1，-3），

故点Q的坐标为（2-x，-+2x-3），

将Q（2-x，-+2x-3）代入y=x+2得，-+2x-3=-+2,

解得，x=0或x=-3，

因为x=0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，

此时点P的坐标为（-3，12），

综上所述，点P的坐标为（-1，0），（3,0）或（-）或（-3，12）.