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已知MN∥EF∥BC,点A、D为直线MN上的两动点,AD=a,BC=b.
(1)当点A、D重合,即a=0时(如图1),试求EF.(用含m,n,b的代数式表示)
(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题:当A、D不重合,即a≠0,
①如图2这种情况时,试求EF.(用含a,b,m,n的代数式表示)
②如图3这种情况时,试猜想EF与a、b之间有何种数量关系?并证明你的猜想.
【答案】分析:(1)由EF∥BC,即可证得△AEF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得,根据比例变形,即可求得EF的值;
(2)①连接BD,与EF交于点H,由(1)知,HF=,EH=,又由EF=EH+HF,即可求得EF的值;
②连接DE,并延长DE交BC于G,根据平行线分线段成比例定理,即可求得BG的长,又由EF=与GC=BC-BG,即可求得EF的值.
解答:解:(1)∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
,(1分)

,(1分)
又BC=b,

∴EF=;(1分)

(2)①解:如图2,连接BD,与EF交于点H,
由(1)知,HF=,EH=,(2分)
∵EF=EH+HF,
∴EF=;(1分)

②猜想:EF=,(1分)
证明:连接DE,并延长DE交BC于G,
由已知得:BG=,(1分
EF=,(1分)
∵GC=BC-BG,
∴EF=(BC-BG)=
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理等知识.此题难度适中,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用,注意比例变形.
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