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    12．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-3）2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
    （1）求点A，B，D的坐标；
    （2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD．求证：∠AED=∠DAB；
    （3）以（2）中的点E为圆心，1.5为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并写出∠PAB的正切值．

    分析 （1）令y=0，得到$\frac{1}{2}$（x-3）2-1=0，解方程即可求得A、B的坐标，直接根据解析式的顶点式求得D点的坐标；
    （2）过D作DG⊥y轴，垂足为G，则G（0，-1），GD=3，求得C点的坐标，求得CG=$\frac{9}{2}$，通过证得△DCG∽△EOM对应边成比例求得EM=2，从而求得ED=3，E（3，2）然后，根据勾股定理的逆定理证得△AED是直角三角形，即可证得结论；
    （3）根据勾股定理以及切线的性质，由于半径是定值可知：要使切线长最小，只需EP长最小，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$（x-3）2-1），根据勾股定理求得EP2=（x-3）2+[$\frac{1}{2}$（x-3）2-1-2]2，设（x-3）2=z，利用换元法得出EP2=$\frac{1}{4}$（z-4）2+5，即当（x-3）2=4时，EP2取得最小值为5．根据（x-3）2=4，求得x的值，进而即可求得P的坐标．

    解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$（x-3）2-1中，令y=0，则$\frac{1}{2}$（x-3）2-1=0，解得：x1=3-$\sqrt{2}$，x2=3+$\sqrt{2}$，
    ∴A（3-$\sqrt{2}$，0），B（3+$\sqrt{2}$，0），
    由抛物线的顶点式可知D（3，-1）；
    （2）如图1，过D作DG⊥y轴，垂足为G，则G（0，-1），GD=3，
    ∵抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-3）2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
    ∴把x=0代入得，y=$\frac{7}{2}$，
    ∴GC=$\frac{9}{2}$，
    设对称轴交x轴于点M，
    ∵OE⊥CD，∠BOC=90°，
    ∴∠DCO=∠EOM，
    ∵∠OME=∠CGD=90°，
    ∴△DCG∽△EOM，
    ∴$\frac{CG}{OM}$=$\frac{DG}{EM}$，即$\frac{\frac{9}{2}}{3}$=$\frac{3}{EM}$，
    ∴EM=2，
    ∴ED=3，E（3，2），
    ∴AE2=（3-$\sqrt{2}$-3）2+22=6，AD2=（3-$\sqrt{2}$-3）2+12=3，ED2=32=9，
    ∴AE2+AD2=ED2，
    ∴△AED是直角三角形，
    ∴∠AED+∠ADE=90°，
    ∵∠DAB+∠ADE=90°，
    ∴∠AED=∠DAB；
    （3）如图2，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$（x-3）2-1），要使切线长最小，只需EP长最小，
    ∵E（3，2），
    ∴EP2=（x-3）2+[$\frac{1}{2}$（x-3）2-1-2]2，
    设（x-3）2=z，
    ∴EP2=$\frac{1}{4}$（z-4）2+5，
    ∴当（x-3）2=4时，EP2取得最小值为5．
    ∵（x-3）2=4，
    ∴x1=5，x2=1（舍去），
    ∴点P的坐标为（5，1）；
    ∴tan∠PAB=$\frac{1}{5-（3-\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

    点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，切线的性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

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    （1）求抛物线的解析式；
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    （3）过点P作PH⊥x轴于点H，在PH的右侧的抛物线上有一动点M（点M与顶点P不重合），过点M作MN⊥BP于点N，当△MPN与△BPH相似时，求点M的坐标．

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