Question

如图，抛物线y=-x²+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为B（-2，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在抛物线上，且点P的横坐标为x（-2＜x＜0），设△PBC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）点M（m，n）是直线AC上的动点．设m=2-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）如图，∵抛物线y=-x²+x+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为B（-2，0）．
所以，-（-2）²+（-2）+c=0，即-6+c=0，
解得，c=6．
则该抛物线解析式是y=-x²+x+6；

（2）由（1）知，该抛物线解析式是y=-x²+x+6．
易求C（0，6）．
设直线BC的解析式为y=k₁x+6（k₁≠0），则-2k₁+6=0，
解得k₁=3，
∴直线BC的解析式为y=3x+6．
∵点P的横坐标为x（-2＜x＜0），
∴F（x，3x+6），P（x，-x²+x+6），
∴PF=-x²+x+6-（3x+6）
=-x²-2x．
∴S=S_△BPF+S_△PCF，
=|PF|•|OB|=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∵-2＜x＜0，
∴当x=-1时，S_最大=1．
综上所述，S与x之间的函数关系式是S=-x²-2x[或S=-（x+1）²+1]，S的最大值是1；

（3）由（1）知，该抛物线解析式是y=-x²+x+6．则A（3，0）．易求C（0，6）．
设直线AC的解析式为y=k₂x+6（k₁≠0），则3k₂+6=0，
解得k₂=-2，
∴直线AC的解析式为y=-2x+6．
由已知M（2-a，2a+2），易知，m≠n，2-a≠2a+2，则a≠0．
若a＞0，m＜1＜n，由题设m≥0，n≤6，
则，
解不等式组的解集是：1＜a≤2；
若a＜0，n＜1＜m，由题设n≥0，m≤6，
则，
解得：-2≤a＜1；
综上：a的取值范围是：-2≤a＜0，0＜a≤2．
分析：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式，列出关于c的方程，通过解方程可以求得c的值；
（2）连接BC，过点P作PF∥y轴，交BC与点F．点P的横坐标为x，表示出F（x，3x+6），P（x，-x²+x+6），最后表示出PF的长，从而表示出S关于x的函数关系，然后求二次函数的最值即可．
（3）点M（m，n）是直线AC上的动点，由一次函数解析式可知，设m=2-a，则M（2-a，2a+2），依题意m≠n，a≠0．根据a＞0和a＜0两种情况，分别求实数a的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据二次函数图象上点的坐标特征求得二次函数解析式，由“两点法”求直线解析式，根据平行于x轴直线上点的坐标特点，表示三角形的面积，根据二次函数的性质求最大值．本题还考查了分类讨论的思想．