Question

如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并利用此图形证明勾股定理．

Answer 1

分析：方法一是四个全等的直角三角形直角边的首尾相接可构成；方法二是直角三角形较短直角边与较长直角边重合，使中间的四边形构成正方形．然后利用总面积相等分别进行证明．

解答：解：方法一：
证明：大正方形面积可表示为（a+b）²，
大正方形面积也可表示为c2+4×

1

2

ab，
∴（a+b）²=c2+4×

1

2

aba²+2ab+b²=c²+2ab，
即a²+b²=c²，
（注：拼图（2分），证明（6分）．）
方法二：
证明：大正方形面积可表示为c²，
又可表示为

1

2

ab×4+(b-a)2，
∴c2=

1

2

ab×4+(b-a)2，
∴c²=2ab+b²-2ab+a²，
即c²=a²+b²．
（图形（2分），证明（6分），共8分）

点评：本题考查了勾股定理的证明．解题的关键是会根据所给的三角形拼出所需的图形．