【题目】如图1,四边形ABCD,AEFG都是正方形,E、G分别在AB、AD边上,已知AB=4.
(1)求正方形ABCD的周长;
(2)将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,求证:BE=DG.
(3)将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BE交DG于点H,设BH与AD的交点为M.
①求证:BH⊥DG;
②当AE=时,求线段BH的长(精确到0.1).
【答案】(1)16;(2)证明见解析;(3)①证明见解析;②5.1
【解析】
根据正方形的周长定义求解;根据正方形的性质得AB=AD,AE=AG,在根据旋转的性质得∠BAE=∠DAG=θ,然后根据“SAS”判断△BAE≌△DAG,则BE=DG;①由BAE≌△DAG得到∠ABE=∠ADG,而∠AMB=∠DMH,根据三角形内角和定理即可得到∠DHM=∠BAM=90°,则BH⊥DG;②连结GE交AD于点N,连结DE,由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°,AF与EG互相垂直平分,且AF在AD上,由AE=可得到AN=GN=1,所以DN=4﹣1=3,然后根据勾股定理可计算出DG=,则BE=,解着利用S△DEG=GEND=DGHE可计算出HE=,所以BH=BE+HE=≈5.1.
解:(1)正方形ABCD的周长=4×4=16;
(2)∵四边形ABCD,AEFG都是正方形, ∴AB=AD,AE=AG,
∵将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°),∴∠BAE=∠DAG=θ,
在△BAE和△DAG,,
∴△BAE≌△DAG(SAS),
∴BE=DG;
(3)①证明:∵△BAE≌△DAG,∴∠ABE=∠ADG,又∵∠AMB=∠DMH,∴∠DHM=∠BAM=90°,∴BH⊥DG;
②解:连结GE交AD于点N,连结DE,如图,∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°,
∴AF与EG互相垂直平分,且AF在AD上,
∵AE=,∴AN=GN=1, ∴DN=4﹣1=3,
在Rt△DNG中,DG=; ∴BE=,
∵S△DEG=GEND=DGHE, ∴HE=,
∴BH=BE+HE=≈5.1.
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【题目】运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是⊙O的直径,CD,EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8。则图中阴影部分的面积是__________.
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【题目】如图,P为反比例函数(x<0)在第三象限内图象上的一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=-x+4的图像于点A、B.若AO、BO分别平分∠BAP,∠ABP ,则k的值为___________.
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【题目】如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,∠C=30°.将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△A'BC',其中点 A',C'分别是点 A,C 的对应点.
(1)作出△A'BC'(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接 AA',求∠C'A'A 的度数.
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【题目】雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款?
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【题目】有一艘渔轮在海上C处作业时,发生故障,立即向搜救中心发出救援信号,此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且相距100里,测得地点C在A的南偏东60,在B的南偏东30方向上,如图所示,若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时,问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援?(≈1.7)
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【题目】如图,中,,,,若点从点出发,以每秒的速度沿折线运动,设运动时间为秒.
备用图
(1)___________;
(2)若点恰好在的角平分线上,求此时的值:
(3)在运动过程中,当为何值时,为等腰三角形.
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【题目】如图(1),已知:在中,,,直线经过点,直线,直线,垂足分别为点、.证明:.
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在中,,、、三点都在直线上,并且有.请直接写出线段、和之间的数量关系.
(3)拓展与应用:如图(3),、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合),点为平分线上的一点,且和均为等边三角形,连接、,若,试证明.
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