如图.点O为矩形ABCD的对称中心.AB=10cm.BC=12cm.点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发.沿矩形的边按逆时针方向匀速运动.点E的运动速度为1cm/s.点F的运动速度为3cm/s.点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C时.三个点随之停止运动．在运动过程中.△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E.F.G运动的时间为t．(1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2013•苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=

2.5

s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．

解答：解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；

（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有

，即

10-t

12-3t

1.5t

，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
则有

，即

10-t

1.5t

12-3t

，
解得：t=-14-2

（不合题意，舍去）或t=-14+2

．
∴当t=2.8s或t=（-14+2

）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．

（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=

BC-BF=6-3t，OM=5，
由勾股定理得：OM²+FM²=OF²，
即：5²+（6-3t）²=（3t）²
解得：t=

；

过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON²+EN²=OE²，
即：6²+（5-t）²=（10-t）²
解得：t=3.9．
∵

≠3.9，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．

点评：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．

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