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    如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).

    （1）求抛物线的解析式；

    （2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动.问当t为何值时，△APQ∽△AOB？

    （3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．

    ①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

    ②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．

     

    【答案】

    （1）；（2）；（3）①不存在；②当点M运动到（，－6）时，四边形CBNA的面积最大，四边形CBNA面积的最大值为．

    【解析】

    试题分析：（1）应用待定系数法，设交点式求解；

    （2）根据相似三角形的性质求解即可；

    （3）①由MN＝OB＝12列式，根据一元二次方程根的判别式小于0得出不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形结论；②求出面积关于x的二次函数关系式，应用二次函数最值原理求解即可.

    试题解析：（1）因抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0)，故设抛物线解析式为：.

    又∵B(0,-12)? ∴ ，解得a=。

    ∴抛物线的解析式为.

    （2）∵OA=9，OB=12，∴AB=15.

    ∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP＝2t，AQ＝15－t.

    又∵AC=12，∴0≤t≤6.

    ∵△APQ∽△AOB，∴，即，解得.

    ∴当时，△APQ∽△AOB.

    （3）易求直线AB的函数关系式为．

    设点M的横坐标为x，则M（x，），N（x，）．

    ①若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝12

    ∴，即x2－9x＋27＝0.

    ∵△＜0，∴此方程无实数根.

    ∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．

    ②∵S四边形CBNA=S△ACB+S△ABN=72+ S△ABN

    ∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝·9·＝－2x2＋12x＋54

    ∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝.

    ∴当x＝时，S△ABN最大值＝，此时M（，－6）

    S四边形CBNA最大=．

    考点：1.双动点问题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4. 相似三角形的性质；5. 平行四边形的判定；6. 一元二次方程根的判别式；7. 二次函数最值.

     

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    （1）求抛物线的解析式；
    （2）请通过计算判断抛物线是否经过点C；
    （3）设M，N 分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．

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    （2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动．问当t为何值时，△APQ∽△AOB？
    （3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
    ①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    ②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．

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