Question

25、利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．
（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；
（2）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn＜k²．

Answer 1

分析：（1）利用面积分割法，可求阴影部分面积，各部分用代数式表示即可；
（2）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（注意a≠b≠c，m≠n≠l），并且正方形里有边长是a、l；b、m；c、n的长方形，通过画成的图可发现，al+bm+cn＜k²．

解答：解：（1）比如：（a+b）²-（a-b）²=4ab，
或（a+b）²=（a-b）²+4ab，
或（a+b）²-4ab等．（2分）

（2）比如构造如图所示正方形：（若画成a=b=c，m=n=l等特殊情况扣1分）
等（5分）
因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cn＜k²（6分）．

点评：通过面积分割法可构造图形，利用图形的面积可得出恒等式．