Question

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：
①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；
（3）在上述条件中，若∠A=60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？

Answer 1

解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定△ABC是等腰三角形．

（2）选择①③证明．
∵∠DBO=∠ECO，BD=CE，∠DOB=∠EOC，
∴△DOB≌△EOC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵∠A=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BE平分∠B，CD平分∠C，
∴∠OBC=∠OBC=30°，
∴∠BOC=180-30-30=120°，
答：∠BOC的度数为120°．
分析：（1）根据已知条件即可找到证明∠ABC=∠ACB的组合；
（2）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC=∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC=∠ACB的组合；
（3）根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理即可求得∠BOC的度数．
点评：此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高，利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键．