Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）存在，理由见解析;（3）见解析.

【解析】

（1）点A、C的坐标分别为：（-2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）作点D关于对称轴的对称轴D′（-1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，即可求解；
（3）QM=|-m2+m+3-m-1|=|-m2+2|，3MN=3（m+1），QM=3MN，即|-m2+2|=3（m+1），即可求解．

解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），

将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；

（2）存在，理由：

作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P为所求，

将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，

抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，

故点P（，）；

（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），

则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，

3MN＝3（m+1），

∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），

解得：m＝﹣2或﹣1或5，

故点Q（﹣2，3）或（﹣1，2）或（5，﹣7）．