Question

10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-ax²+4a的顶点A在y轴的正半轴上，与x轴负半轴交于B点，与x轴的正半轴交于点C．
（1）如图1，连接AC，请用含a的式子表示直线AC的解析式；
（2）如图2，过点B作AC的平行线，交第四象限的抛物线于点D，若点D的纵坐标为-3，求抛物线的解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在第四象限的抛物线上，过点P作PH⊥BD于点H，直线PH交x轴于点E，若$\frac{PH}{PE}$=$\frac{4}{5}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）假设直线BD解析式为y=-2ax+b′，把（-2，0）代入得到，b′=-4a，可得直线BD解析式为y=-2ax-4a，设点D坐标为（m，-3），由-3=-2am-4a，可得m=$\frac{3-4a}{2a}$，推出D（$\frac{3-4a}{2a}$，-3）代入y=-ax²+4a，解方程即可．
（3）如图3中，作HM⊥BE于M，PJ⊥BE于J，直线BD交y轴于N．设P（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），想办法用m的代数式表示PJ、OM、EM、OJ再根据JE=$\frac{1}{2}$PJ=OM+EM-OJ列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

x=0得y=4a，令y=0，得-ax²+4a=0，解得x=±2，
∴A（0，4a），B（-2，0），A（2，0），
设直线AC解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4a}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2a}\\{b=4a}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-2ax+4a．

（2）如图2中，

∵BD∥AC，
∴可以假设直线BD解析式为y=-2ax+b′，把（-2，0）代入得到，b′=-4a，
∴直线BD解析式为y=-2ax-4a，
设点D坐标为（m，-3），
∴-3=-2am-4a，
∴m=$\frac{3-4a}{2a}$，
∴D（$\frac{3-4a}{2a}$，-3）代入y=-ax²+4a，得-3=-a•（$\frac{3-4a}{2a}$）²+4a，
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+1．

（3）如图3中，作HM⊥BE于M，PJ⊥BE于J，直线BD交y轴于N．设P（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），

由（2）可知D（4，-3），直线BD解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
∴N（0，-1），
∵EH⊥BD，HM⊥BE，
∴∠EHM+∠BHM=90°，∠HBM+∠BHM=90°，
∴∠EHM=∠HBM，
∵PJ∥HM，
∴∠EPJ=∠EHM=∠HBM，
∴tan∠EPJ=tan∠EHM=tan∠HBM=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{JP}{HM}$=$\frac{EP}{EH}$=$\frac{5}{9}$，JP=$\frac{1}{4}$m²-1，
∴HM=$\frac{9}{5}$（$\frac{1}{4}$m²-1），BM=$\frac{18}{5}$（$\frac{1}{4}$m²-1），
∴OM=$\frac{18}{5}$（$\frac{1}{4}$m²-1）-2，EM=$\frac{1}{2}$HM=$\frac{9}{10}$（$\frac{1}{4}$m²-1），
∵JE=$\frac{1}{2}$PJ=OM+EM-OJ
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$m²-1）=$\frac{18}{5}$（$\frac{1}{4}$m²-1）-2+$\frac{9}{10}$（$\frac{1}{4}$m²-1）-m，
整理得到10m²-19m-51=0，解得m=$\frac{17}{5}$或-$\frac{3}{2}$（舍弃），
∴点P坐标为（$\frac{17}{5}$，-$\frac{189}{100}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、锐角三角函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会利用参数，构造方程解决问题，属于中考压轴题．