Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-3ax-4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将（0，2）代入抛物线解析式求得a的值，从而得出抛物线的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得点A、B的坐标；
（2）如图2，作A'H⊥x轴于H，可证明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A'H∥OC，即可得出A′H的长，即可求得A′的坐标；
（3）分两种情况：①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），由圆周角定理得出点P坐标；②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F，求得M'F，在Rt△M'P'F中，由勾股定理得出P'F得的长，从而得出点P的坐标即可．

解答 解：（1）把C（0，2）代入y=ax²-3ax-4a得-4a=2，
解得$a=-\frac{1}{2}$．
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$．
令$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=0$，可得：x₁=-1，x₂=4．
所以A（-1，0），B（4，0）．
（2）如图2，作A'H⊥x轴于H，
因为$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$，且∠AOC=∠COB=90°，
所以△AOC∽△COB，
所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，
由A'H∥OC，AC=A'C得OH=OA=1，A'H=2OC=4；

所以A'（1，4）；
（3）分两种情况：
①如图3，以AB为直径作⊙M，⊙M交抛物线的对称轴于P（BC的下方），
由圆周角定理得∠CPB=∠CAB，
易得：MP=$\frac{1}{2}$AB．所以P（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$）．

②如图4，类比第（2）小题的背景将△ABC沿直线BC对折，
点A的对称点为A'，以A'B为直径作⊙M'，⊙M'交抛物线的对称轴于P'（BC的上方），
则∠CP₂B=∠CA'B=∠CAB．
作M'E⊥A'H于E，交对称轴于F．
则M'E=$\frac{1}{2}$BH=$\frac{3}{2}$，EF=$\frac{3}{2}-1$=$\frac{1}{2}$．
所以M'F=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$=1．
在Rt△M'P'F中，P'F=$\sqrt{（\frac{5}{2}{）^2}-{1^2}}=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，
所以P'M=2+$\frac{{\sqrt{21}}}{2}$．
所以P'（$\frac{3}{2}$，2+$\frac{{\sqrt{21}}}{2}$）．

综上所述，P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，2+$\frac{{\sqrt{21}}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程的解法以及二次根式的运算、勾股定理等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．