Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，⊙O分别交AB，AC于E，F两点．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：DE²=AF•BE；
（3）若CF=2，CD=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OF，证得OD∥AC，得出∠CAD=∠ODA，利用OA=OD，得出∠OAD=∠ODA，进一步得出∠CAD=∠OAD，进一步利用圆周角定理证得结论即可；
（2）连接EF，证得△AFD∽△DEB，结合（1）的结论证得问题；
（3）首先求得DF，在Rt△DFC中和Rt△ADE中，利用∠DFC和∠AED的锐角三角函数建立方程求得AE解决问题．

解答 （1）证明：如图，

连接OD，OF
∵⊙O与BC相切于点D
∴∠ODB=∠C=90°
∴OD∥AC
∴∠CAD=∠ODA
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD=∠OAD
∴∠FOD=∠DOE
∴DF=DE；
（2）如图，

连接EF
∵AE是⊙O的直径
∴∠AFE=∠C=90°
∴EF∥BC
∴∠AEF=∠B
∵∠AEF=∠ADF
∴∠ADF=∠B
∵∠AFD+∠AED=180°，∠DEB+∠AED=180°
∴∠AFD=∠DEB…
∴△AFD∽△DEB
∴$\frac{AF}{DE}=\frac{DF}{BE}$
∴DE•DF=AF•BE
∵DF=DE
∴DE²=AF•BE．
（3）∵∠C=90°
∴$DF=\sqrt{C{D^2}+C{F^2}}=2\sqrt{5}$
∴DF=DE=$2\sqrt{5}$
在Rt△DFC中，$cos∠DFC=\frac{FC}{FD}=\frac{2}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
在Rt△ADE中，$cos∠AED=\frac{DE}{AE}=\frac{{2\sqrt{5}}}{AE}$
∵∠DFC=∠AED
∴$\frac{{2\sqrt{5}}}{AE}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
∴AE=10
∴⊙O的半径是5．

点评 本题考查了切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．