Question

命题：已知如图所示，正方形ABCD的对角线的交点为O，E是AC上一点，AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，则OE=OF．
（1）证明上述命题．

（2）对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图所示，则结论“OE=OF”还成立吗？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵∠AFO+∠CAF=90°，∠AEB+∠CAF=90°，
∴∠AFO=∠AEB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF；

（2）OE=OF．
证明：∵∠GBF+∠F=90°，∠OBE+∠E=90°，∠GBF=∠DBE（对顶角相等），
∴∠E=∠F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．
分析：（1）证OE=OF，关键是证明三角形AOF和BOE全等．已知的条件有一组直角，OA=OE（正方形的对角线相等，且互相垂直平分）只要再证得一组对应角相等即可得出三角形全等的结论，我们发现∠AFO和∠AEB都是∠CAF的余角，因此这两个角相等，就构成了两个三角形全等的条件，由此可得出两三角形全等，进而得出OE=OF．
（2）还相等，证法和（1）相同也是证三角形AOF和BOE全等．
点评：本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，通过全等三角形来证线段相等是解此类题的基本方法．