Question

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4．若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为$\frac{39}{5}$．

Answer 1

分析 根据两梯形的周长相等可得AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF继而可得：AD+AE+FD=EB+BC+CF=$\frac{1}{2}$，设$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{FC}$=k，AE，DF都可用k表示出来，从而可得出k的值，再运用平行的性质即可解出EF的长．

解答 解：由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF，
∴AD+AE+FD=EB+BC+CF=$\frac{1}{2}$（AD+AB+BC+CD）=11，
∵EF∥BC，
∴EF∥AD，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{FC}$，
设$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{FC}$=k，
∴AE=$\frac{k}{k+1}$AB=$\frac{6k}{k+1}$，DF=$\frac{k}{k+1}$CD=$\frac{4k}{k+1}$，
∴AD+AE+FD=3+$\frac{6k}{k+1}$+$\frac{4k}{k+1}$=$\frac{13k+3}{k+1}$，
∴$\frac{13k+3}{k+1}$=11，
解得：k=4，
作AH∥CD，交BC于H，交EF于G，
则GF=HC=AD=3，BH=BC-CH=9-3=6，
∵$\frac{EG}{BH}=\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴EG=$\frac{4}{5}$BH=$\frac{24}{5}$，
∴EF=EG+GF=$\frac{24}{5}$+3=$\frac{39}{5}$．
故答案为：$\frac{39}{5}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例的知识，梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．