Question

6．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与直线y=-x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C．
（1）填空：b=-4，c=3；
（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF．当h为何值时，直线EF与抛物线y=x²+bx+c没有交点？
（3）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由直线y=-x+3交坐标轴于A，B两点，求出A（0，3），B（3，0），再把A，B两点的坐标代入y=x²+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据“上加下减”的平移规律得出直线EF的解析式为y=-x+3-h，再把y=-x+3-h代入y=x²-4x+3，整理得到x²-3x+h=0．根据直线EF与抛物线没有交点，得出△=（-3）²-4×1×h=9-4h＜0，解不等式即可求出h的取值范围；
（3）先求出抛物线 y=x²-4x+3的顶点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-2x+3．设直线AC交x轴于点D，则D（$\frac{3}{2}$，0），BD=$\frac{3}{2}$．再求出S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD=3．由直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分，分两种情况讨论：①$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，②$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{3}$，分别求出m的值即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3交坐标轴于A，B两点，
∴A（0，3），B（3，0），
把A（0，3），B（3，0）代入y=x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故答案为-4，3；

（2）∵将直线AB：y=-x+3向下平移h个单位长度，得直线EF，
∴可设直线EF的解析式为y=-x+3-h．
把y=-x+3-h代入y=x²-4x+3，得x²-4x+3=-x+3-h．
整理得：x²-3x+h=0．
∵直线EF与抛物线没有交点，
∴△=（-3）²-4×1×h=9-4h＜0，
解得h＞$\frac{9}{4}$．
∴当h＞$\frac{9}{4}$时，直线EF与抛物线没有交点；

（3）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点C（2，-1）．
设直线AC的解析式为y=mx+n．
则 $\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-2x+3．
如图，设直线AC交x轴于点D，则D（$\frac{3}{2}$，0），BD=$\frac{3}{2}$．
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=3．
∵直线x=m与线段AB、AC分别交于M、N两点，则0≤m≤2，
∴M（m，-m+3），N（m，-2m+3），
∴MN=（-m+3）-（-2m+3）=m．
∵直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分，
∴分两种情况讨论：
①当$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$时，即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，解得 m=±$\sqrt{2}$；
②当$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{3}$时，即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}}{3}$=$\frac{2}{3}$，解得 m=±2
∵0≤m≤2，
∴m=$\sqrt{2}$或m=2．
∴当m=$\sqrt{2}$或2时，直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到抛物线与直线的交点，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，三角形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．