Question

27、如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？并证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，若AB=6，AC=4，请确定AD的值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题目所给的条件能证明△BED和△CFD全等，所以D是中点；过点B作BG∥AC交AD延长线于点G，
（2）根据三角形第三边大于两边之差小于两边之和，可确定AD的范围．

解答：解：（1）AD是△ABC的中线．（1分）
理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°
又∵BE=CF，∠BDE=∠CFD
∴△BDE≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，即AD是△ABC的中线．（4分）
（2）过点B作BG∥AC交AD延长线于点G
∴∠GBD=∠ACD，（5分）
又∵AD是中线，∠BDG=∠ADC，
∴△BDG≌△CDA（ASA），
∴BG=AC=4，AD=GD，（6分）
在△ABG中，AB=6，根据三角形三边关系，
∴2＜AG＜10，
∴1＜AD＜5．（7分）

点评：本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系的性质．