Question

（1）探索：解下列方程，将得到的两根x₁，x₂和x₁+x₂，x₁-x₂的值填入下面的表格．

方程	x1	x2	x1+x2	x1-x2
x2+3x-4=0
2x2+x-1=0
3x2-5x+2=0

（2）猜想：x₁+x₂，x₁-x₂的值与一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）（x₁，x₂是其两个根）的各项系数a，b，c之间有何关系？
（3）利用一元二次方程的求根公式证明（2）中的猜想．

Answer 1

（1）

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
x2+3x-4=0	-4	1	-3	-4
2x2+x-1=0	1 2	-1	- 1 2	- 1 2
3x2-5x+2=0	2 3	1	5 3	2 3

（2）根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．

（3）对于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数），当△≥0时，利用求根公式，得
x₁=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

，x₂=

-b

2a

-

b2-4ac

2a

．
x₁+x₂=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

+

-b

2a

-

b2-4ac

2a

=-

b

a

，
x₁x₂=（

-b

2a

+

b2-4ac

2a

）•（

-b

2a

-

b2-4ac

2a

）=（

-b

2a

）²-（

b2-4ac

2a

）²=

c

a

．
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

是正确的．