Question

已知关于x的方程①x²+（2k-1）x+（k-2）（k+1）=0和②kx²+2（k-2）x+k-3=0．
（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）证明：对于①a=1，b=2k-1，c=（k-2）（k+1）．
∴△=b²-4ac=9＞0．
∴方程①总有两个不相等的实数根．

（2）解：对于方程②a=k，b=2（k-2），c=k-3．
∴△=b²-4ac=16-4k＞0．
∴k＜4，且k≠0．
分析：（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根，就是证明判别式△恒大于0；
（2）方程②有两个“不相等”的实数根，即根的判别式“△≥0”？，即可得到一个关于k的不等式，从而确定k的取值范围．
点评：此题有一定的难度，用到一元二次方程的根的判别式，又用到根与系数的关系和求根公式，计算时要细心，做到条理清晰，计算准确．