Question

9．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为-10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）分别求当t=2及t=12时，对应的线段PQ的长度；
（2）当PQ=5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；
（3）若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ=8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）找出运动时间为t秒时，点P、Q对应的数，由此可用含t的代数式表示出PQ的长度，分别代入t=2、t=12即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合PQ=5可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出t值，再将t值代入点Q表示的数中即可得出结论；
（3）找出运动时间为t秒时，点P、Q对应的数，分0＜t≤15和15＜t≤30两种情况找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）当运动时间为t秒时，点P对应的数为t，点Q对应的数为2t-10，
∴PQ=|t-（2t-10）|=|t-10|．
当t=2时，PQ=|2-10|=8；
当t=12时，PQ=|12-10|=2．
答：当t=2时，线段PQ的长度为8；当t=12时，线段PQ的长度为2．
（2）根据题意得：|t-10|=5，
解得：t=5或t=15，
当t=5时，点Q对应的数为2t-10=0；
当t=15时，点Q对应的数为2t-10=20．
答：当PQ=5时，t的值为5或15，此时点Q所对应的数为0或20．
（3）当运动时间为t秒时，点P对应的数为t，点Q对应的数为$\left\{\begin{array}{l}{2t-10（0＜t≤15）}\\{20-2（t-15）（15＜t≤30）}\end{array}\right.$．
当0＜t≤15时，PQ=|t-（2t-10）|=|t-10|，|t-10|=8，
解得：t₁=2，t₂=18（舍去）；
当15＜t≤30时，PQ=|t-[20-2（t-15）]|=|3t-50|，|3t-50|=8，
解得：t₃=$\frac{58}{3}$，t₄=14（舍去）．
综上所述：在点Q的整个运动过程中，存在合适的t值，使得PQ=8，此时t的值为2或$\frac{58}{3}$．

点评 本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）用含t的代数式表示出PQ的长度；（2）由（1）的结论结合PQ=5找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程；（3）分0＜t≤15和15＜t≤30两种情况找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程．