分析 (1)根据等角的余角相等得到∠DBE=∠BCD,由于AB=CB,点D是AB的中点,得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB,求出tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$在Rt△ABG中,tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$,推出△AFG∽△CFB,即可得到结论;
(2)由(1)证得△AFG∽△CFB,根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCF}}$=($\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{4}$,由于$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$,得到$\frac{CF}{AB}$=$\frac{2}{3}$,于是得到$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{4}×\frac{2}{3}{S}_{△ABC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{6}$.
解答 解:(1)∵∠ABC=90°,BG⊥CD,
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°,
∴∠DBE=∠BCD,
∵AB=CB,点D是AB的中点,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB,
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$
∴在Rt△ABG中,tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$,
∵BC⊥AB,AG⊥AB,
∴AG∥BC,
∴△AFG∽△CFB,
∴AF:CF=AG:BC=1:2,
∴AF=$\frac{1}{3}$AC,
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{3}$;
(2)由(1)证得△AFG∽△CFB,
∴$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCF}}$=($\frac{1}{2}$)2=$\frac{1}{4}$,
∵$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{2}{3}$,
∴S△BCF=$\frac{2}{3}$S△ABC,
∴$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{4}×\frac{2}{3}{S}_{△ABC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{6}$.
点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识.此题难度适中,解题的关键是证得△AFG∽△CFB,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.
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