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如图,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A(-2
3
,0)、B(-2
3
,2),∠CAO=30°.
(1)求对角线AC所在的直线的函数表达式;
(2)把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折,点O落在平面上的点D处,求点D的坐标;
(3)在平面内是否存在点P,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)求出点C的坐标,利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式;
(2)过点D作DE⊥OA于点E,利用三角函数的知识,求出DE及OE的长度,即可得出点D的坐标.
(3)找到点P的可能位置,利用平行四边形对边相等的性质即可得出点P的坐标.
解答:解:(1)由题意得,OA=2
3
,∠CAO=30°,
则OC=OAtan∠CAO=2,
即点C的坐标为(0,2),
设直线AC的解析式为:y=kx+b,将点A及点C的坐标代入得:
-2
3
k+b=0
b=2

解得:
k=
3
3
b=2

故直线AC的函数表达式为:y=
3
3
x+2.

(2)过点D作DE⊥OA于点E,

∵∠CAO=30°,
∴∠DAE=60°,
又∵AD=AO=2
3

∴DE=3,AE=
3

∴OE=
3

故点D的坐标为(-
3
,3).

(3)
①当AD为平行四边形的一边时,点P的位置有两个,分别为P1、P2
当点P位于P1位置时,DP1=AO,
此时可得点P的坐标为(
3
,3);
当点P位于P2位置时,
∵OD=AD,△AOD是等边三角形,
∴点P2与点D关于x轴对称,
此时可得点P的坐标为(-
3
,-3);
②当AD为平行四年行的对角线时,点P的位置有一个,在P3的位置,
此时DP3=AO,
故可得点P的坐标为(-3
3
,3).
综上可得存在点P的坐标,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为(
3
,3)或(-
3
,-3)或(-3
3
,3).
点评:本题考查了一次函数的综合,涉及知识点较多,解答本题的第一问的关键是熟练掌握待定系数法,第二问要求我们能熟练解直角三角形,第三问要求我们具备分类讨论的能力,另外要熟练掌握平行四边形的性质.
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(1)求点B的坐标;
(2)当∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求这时点P的坐标.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
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k
x
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(2)当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时,求直线CP的解析式;
(3)当△OCP是等腰三角形时,请写出点P的坐标(不要求过程,只需写出结果).

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