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(2012•盐城)如图所示,AC⊥AB,AB=2
3
,AC=2,点D是以AB为直径的半圆O上一动点,DE⊥CD交直线AB于点E,设∠DAB=α(0°<α<90°).
(1)当α=18°时,求
BD
的长;
(2)当α=30°时,求线段BE的长;
(3)若要使点E在线段BA的延长线上,则α的取值范围是
60°<α<90°
60°<α<90°
.(直接写出答案)
分析:(1)首先连接OD,由圆周角定理,可求得∠DOB的度数,又由⊙O的直径为2
3
,即可求得其半径,然后由弧长公式,即可求得答案;
(2)首先证得△ACD∽△BED,然后由相似三角形的对应边成比例,可得
AC
BE
=
AD
BD
,继而求得答案;
(3)首先求得A与E重合时α的度数,则可求得点E在线段BA的延长线上时,α的取值范围.
解答:解:(1)连接OD,
∵α=18°,
∴∠DOB=2α=36°,
∵AB=2
3

∴⊙O的半径为:
3

BD
的长为:
36×π×
3
180
=
3
5
π;

(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵α=30°,
∴∠B=60°,
∵AC⊥AB,DE⊥CD,
∴∠CAB=∠CDE=90°,
∴∠CAD=90°-α=60°,
∴∠CAD=∠B,
∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°,
∴∠CDA=∠BDE,
∴△ACD∽△BED,
AC
BE
=
AD
BD

∵AB=2
3
,α=30°,
∴BD=
1
2
AB=
3

∴AD=
AB2-BD2
=3,
2
BE
=
3
3

∴BE=
2
3
3

经检验,BE=
2
3
3
是原分式方程的解.

(3)如图,当E与A重合时,
∵AB是直径,AD⊥CD,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴C,D,B共线,
∵AC⊥AB,
∴在Rt△ABC中,AB=2
3
,AC=2,
∴tan∠ABC=
AC
AB
=
3
3

∴∠ABC=30°,
∴α=∠DAB=90°-∠ABC=60°,
当E′在BA的延长线上时,如图,可得∠D′AB>∠DAB>60°,
∵0°<α<90°,
∴α的取值范围是:60°<α<90°.
故答案为:60°<α<90°.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质以及弧长公式等知识.此题综合性很强,难度较大,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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∠A=90°
.(填上你认为正确的一个答案即可)

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(2)在图①中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图③,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.(不需要证明)

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