Question

已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图），P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心。

（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；
（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC·AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离。

Answer 1

解：（1）证明：如图： 连结OB，OP， ∵O是等边三角形BPQ的外心， ∴OB=OP， 圆心角， 当OB不垂直于AM时，作OH⊥AM，OT⊥AN，垂足分别为H，T， 由，且∠A=60°， ， ∴， ∴， ∴， ∴OH=OT， ∴点O在∠MAN的平分线上 当时，， 即OP⊥AN， ∴点O在∠MAN的平分线上， 综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上；
（2）如图： ∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°， ∴， 由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y=4x， 定义域为x>0；
（3）①如图1：当BP与圆I相切时，AO=， ②如图2，当BP与圆I相切时，AO=； ③如图3，当BQ与圆I相切时，AO=0。