Question

11．梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，∠B=∠C=45°，AD=AE=2，CD=2$\sqrt{2}$，动点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿这线段CD-DA-AB运动，当点P到达点B时停止运动，运动过程中，点P作BC的垂线与BC交于点Q，设直线PQ扫过梯形ABCD的面积为S，点P运动的时间为t．
（1）BC的长度为6；
（2）写出S与t的关系式；
（3）若点M为线段AE上一点，点N为线段EF上一点且∠MDN=45°，猜AM、MN、NB之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质直接求出FC，同理求出BE，即可得出BC，
（2）点P在CD上时，利用等腰直角三角形的面积的求法直接求出即可，点P在AD上时，用用矩形的面积和三角形的面积之和求解，点P在AB上时，用梯形的面积减去三角形的面积即可；
（3）在FC上，取一点M'使FM'=AM，根据SAS证△ADM≌△FDM'，推出∠ADM=∠FDM'，DM=DM'，求出∠MDN=∠M'DN，根据SAS证出△MDN≌△M'DN，从而得到MN=FN+AM；即可．

解答 解：（1）∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC，
∴∠DFC=∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∵AD=AE=2，
∴矩形AEFD是正方形，
∴EF=AD=2
在Rt△CDF中，∠C=45°，CD=2$\sqrt{2}$，
∴DF=CF=2，
在Rt△ABE中，∠B=45°，AE=2，
∴BE=AE=2，AB=$\sqrt{2}$AE=2$\sqrt{2}$，
∴BC=BE+EF+CF=6，
故答案为：6；
（2）由（1）知，CD=2$\sqrt{2}$，AD=2，AB=2$\sqrt{2}$，
①当0＜t≤2$\sqrt{2}$时，点P在梯形ABCD的腰CD上，
如图1，

由运动知，CP=t，
∵PQ⊥BC，∠C=45°，
∴PQ=CQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴S=S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×CQ×PQ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²，
②当2$\sqrt{2}$＜t≤2+2$\sqrt{2}$时，点P在梯形ABCD的上底AD上，
如图2，

由运动知，PD=t-CD=t-2$\sqrt{2}$，
∴S=S_△CDF+S_矩形PQFD=$\frac{1}{2}$×FC×FD+PD×AE=$\frac{1}{2}$×2×2+2（t-2$\sqrt{2}$）=2t+2-4$\sqrt{2}$，
③当2+2$\sqrt{2}$＜t≤2+4$\sqrt{2}$时，点P在梯形ABCD的腰AB上，
如图3，

由运动知，BP=2+4$\sqrt{2}$-t，
∵PQ⊥BC，∠B=45°，
∴PQ=BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2+4$\sqrt{2}$-t）=4+$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴S=S_梯形ABCD-S_△PQB=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AE-$\frac{1}{2}$BQ×PQ=$\frac{1}{2}$（2+6）×2-$\frac{1}{2}$（4+$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t-6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，

（3）结论：MN+BM-AM=4．
如图4，

理由：如图，在FC上取一点M'，使FM'=AM，连接DM'，
∵四边形AEFD是正方形，
∴FM=AD，∠DAE=∠DFE=90°=∠DFM'，
在△ADM和△FDM'中$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{∠DAM=∠DFM'}\\{AM=FM'}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△FDM'（SAS），
∴∠ADM=∠FDM'，DM=DM'，
∴∠MDM'=∠FDM'+∠MDF=∠ADM+∠MDF=90°，
∵∠MDN=45°，
∴∠MDN=∠M'DN，
在△MDN和△M'DN中，$\left\{\begin{array}{l}{DN=DN}\\{∠MDN=∠M'DN}\\{DM=DM'}\end{array}\right.$
∴△MDN≌△M'DN，
∴MN=M'N，
∴MN=M'N=FN+FM'=FN+AM
∵BM'=BN+M'N=BN+MN，BM'=BF+FM'=BF+AM=BE+EF+AM，
∴MN+BN=BF+AM=4+AM；
即：MN+BM-AM=4．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，全等三角形的判断和性质，分段求函数关系式是解本题的关键，构造全等三角形是解本题的难点．