Question

已知：△ABC中，CD⊥AB，AC²=AD•AB，求证：CD²=AD•BD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：求出

AC

AD

=

AB

AC

，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似求出△ABC和△ACD相似，根据相似三角形对应角相等可得∠B=∠ACD，根据垂直的定义可得∠ADC=∠CDB=90°，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ACD和△CBD相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证．

解答：证明：∵AC²=AD•AB，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
又∵∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠B=∠ACD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴

CD

BD

=

AD

CD

，
∴CD²=AD•BD．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题关键在于把乘积式转化为比例式．