Question

2．如图，已知一次函数y=-2x+3的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=-$\frac{5}{x}$的图象交于B，C两点，点P是线段AB上的一个动点．
（1）当x取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值；
（2）过点P作x轴的平行线与反比例函数y=-$\frac{5}{x}$的图象相交于点D，求△PAD的面积的最大值；
（3）在反比例函数y=-$\frac{5}{x}$的图象上找点E，使∠BCE为直角，直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）联立两函数解析式可求得B、C的坐标，结合函数图象可求得反比例函数的值小于一次函数的值时自变量的取值范围；
（2）可设出D点坐标为（-$\frac{5}{t}$，t），从而可表示出P点坐标，可用t表示出PD的长和A到PD的距离，从而可用t表示出△PAD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）由垂直关系可求得直线CE的解析式，联立直线CE与反比例函数的解析式，则可求得E点坐标．

解答 解：
（1）联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=-\frac{5}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-1，5），C（$\frac{5}{2}$，-2），
由图象可知当x＜-1或0＜x＜$\frac{5}{2}$时，反比例函数的值小于一次函数的值；

（2）在y=-2x+3中，令y=0可解得x=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），
∵点P是线段AB上的一个动点，PD∥y轴，
∴可设D（-$\frac{5}{t}$，t）（0＜t＜5），
∵PD∥y轴，
∴P（$\frac{3-t}{2}$，t），
∴PD=$\frac{3-t}{2}$-（-$\frac{5}{t}$）=$\frac{3-t}{2}$+$\frac{5}{t}$，且A到PD的距离为t，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$t（$\frac{3-t}{2}$+$\frac{5}{t}$）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{4}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{49}{16}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，△PAD的面积最大，最大面积为$\frac{49}{16}$；

（3）∵∠BCE为直角，
∴CE⊥BC，
∵直线BC解析式为y=-2x+3，
∴可设直线CE解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
把C（$\frac{5}{2}$，-2）代入可得-2=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$+b，解得b=-$\frac{13}{4}$，
∴直线CE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{13}{4}$，
联立直线CE与反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{4}}\\{y=-\frac{5}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴E点坐标为（4，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，函数图象的交点、三角形的面积、二次函数的性质、待定系数法、垂直直线的特征及数形结合思想等知识．在（1）中求得B、C的坐标是解题的关键，注意数形结合，在（2）中设D点的纵坐标为t，用t表示出△PAD的面积是解题的关键，在（3）中求得直线CE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．