Question

正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O．
（1）如图，当CE=

2

3

时，求线段BG的长；
（2）当点O在线段BC上时，设

CE

ED

=x，BO=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC，我们可以得出关于AD、DE、CE、CG的比例关系式，已知了CD、AD、CD的值，那么就能求出DE的值，也就能求出CG的长了，有了CG的长，已知了BC的长，那么就有了BG的长．
（2）根据CE、DE的比例关系和CD的长，我们不难表示出CE的长，按（1）的方法我们可以得出CG的表达式，有了CG的长，那么就能表示出BG的长，在直角三角形ABG中，就能表示出AG的长，如果我们过点O作OF⊥AG，垂足为点F，构建一个和三角形ABG相似的三角形OFG（有一个公共角，有一组直角），我们可得出关于AB、AG、OF、OG的比例关系式．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可得出OF=OB=y，OG=BG-BO也不难表示出来，因此根据关于AB、AG、OF、OG的比例关系式可得出一个含x、y的函数关系式．
（3）分两种情况，第一，O在线段BC上，这种情况同（2）可根据（2）的结果来得出OB的值．
第二种情况，O在BC的延长线上，由AB∥DC我们可得出∠BAH=∠HAE=∠AHE，因此EH=AH，那么就有了EH的值，也就求出了CH的值，由AB∥DC，我们可得到一个关于AB、CH、CO、BO的比例关系式，因为CO=BO-2，又求出了CH的值，已知了AB的值，因此可求出BO．

解答：解：（1）在边长为2的正方形ABCD中，CE=

2

3

，得DE=CD-CE=2-

2

3

=

4

3

，
又∵AD∥BC，即AD∥CG，
∴

CG

AD

=

CE

DE

=

1

2

，
得CG=1．
∵BC=2，
∴BG=3；

（2）当点O在线段BC上时，过点O作OF⊥AG，垂足为点F．
∵AO为∠BAE的角平分线，∠ABO=90°，
∴OF=BO=y．
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴

CG

AD

=

CE

ED

=x．
∵AD=2，
∴CG=2x．
又∵

CE

ED

=x，CE+ED=2，
∴得CE=

2x

1+x

．
∵在Rt△ABG中，AB=2，BG=2+2x，∠B=90°，
∴AG=2

x2+2x+2

．
∵AF=AB=2，
∴FG=AG-AF=2

x2+2x+2

-2．
∵

OF

FG

=

AB

BG

，
即y=

AB

BG

•FG，
得y=

2 x2+2x+2 -2

x+1

．（x≥0）；

（3）当CE=2ED时，

①当点O在线段BC上时如图（1），即x=2，由（2）得OB=y=

2 10 -2

3

；
②当点O在线段BC延长线上时，如图（2），CE=2DE=4，ED=2，在Rt△ADE中，AE=2

2

．
设AO交线段DC于点H，
∵AO是∠BAE的平分线，
∴∠BAH=∠HAE，
又∵AB∥CD，
∴∠BAH=∠AHE．
∴∠HAE=∠AHE．
∴EH=AE=2

2

．
∴CH=4-2

2

，
∵AB∥CD，
∴

CH

AB

=

CO

BO

，
∴

4-2 2

2

=

BO-2

BO

，得BO=2

2

+2．

点评：本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，本题中根据平行线得出线段的比例关系，然后用已知的线段或间接求出的线段来求出未知的线段是解题的思路．