Question

现有一宽为40厘米的矩形铁皮，用它可以冲出3个扇形，加工成3个底面半径为10厘米，母线长为20厘米的无底面圆锥（不计接缝损失）．
（1）计算此圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；
（2）按照题目要求在下图中画出使铁皮能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形铁皮的长手最少为多少厘米．

Answer 1

解：（1）设圆心角的读数为n°，则=20π．        
所以n=180．所以此扇形的圆心角的度数为180°，

（2）因为扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形是半径为20厘米的半圆，如图1所示，当三个半圆所在的圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使铁皮得以充分利用
如图2，连接O₁O₂，O₂O₃，0₃0₁．
因为  EO₁、EO₂、EO₃两两外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，所以  O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=0₁A+CO₃=40．
过O₃作0₃E⊥O₁O₂于E．因为O₂O₃=O₁O₃，所以  O₁E=O₂E=O₁O₂=20．
在△0₁E0₃中，∠O₁EO₃=90°，
根据勾股定理EO₃===20． 
因为四边形ABCD是矩形．
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°，
因为，AO₁=BO₂，AO₁∥BO₂，所以四边形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°，所以O₁E=DO₃．又因为O₁E=DO₃，
所以四边形0₁EO₃D是平行四边形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO₁+O₁D=20+20．    
因此短形铁片的长至少为（20+20）厘米．
分析：（1）利用弧长公式l=，以及圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，求出n的度数即可；
（2）利用两圆相切的性质得出理EO₃=进而求出EO₃=O₁D，得出AD=AO₁+O₁D得出答案即可．
点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算和两圆相切的性质．利用相切两圆的性质得出EO₃=O₁D是解题的关键．