Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=m，E为BC边上一点，沿AE翻折△ABE，点B落在点F处．

（1）连接CF，若CF//AE，求EC的长（用含m的代数式表示）；

（2）若EC=，当点F落在矩形ABCD的边上时，求m的值；

（3）连接DF，在BC边上是否存在两个不同位置的点E，使得？若存在，直接写出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EC=；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）由翻折的性质可知BF⊥AE，CF//AE，所以，根据直角三角形的性质，两锐角互余，可证得EF=EC，所以点E是BC的中点，即可求得EC的长；

（2）分两种情况进行分类讨论，当点F在AD边上，很容易可证得四边形ABEF是正方形，所以BE=，就可求出m的值，当点F在CD上，由翻折的性质可得，，AB=AF=10，在△ECF中由勾股定理可表示出CF的长，在△ADF中，由勾股定理即可求出m的值；

（3）由可知，点F到AD边的距离为5,有两种情况，第一种情况当点F在矩形内，可得，第二种情况当点F在AD边上方，可得,要使在BC边上存在两个不同位置的点E，所以．

（1）连接CF，BF，BF交AE于点H，如下图所示：

∵△ABE沿AE翻折到了△AFE，由翻折可得：

∴BE=EF，BF⊥AE，

∴，

∵CF//AE，

∴，

∴，，

∵BE=EF

∴∠BFE=∠FBE

∴∠EFC=∠ECF

∴EF=EC

∴EC=．

（2）①当点F在AD上，如下图所示：

由翻折可得：

AB=AF=10，BE=EF，∠BAE=∠FAE=45

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=90，AD//BC，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=BE=AF=10，

∴四边形ABEF是正方形，

∵EC=，

∴=10

∴；

②当点F在边CD上，如下图所示：

∵EC=，

∴

由翻折可得：

BE=EF，AB=AF=10，

在Rt△ECF中，由勾股定理得：

∴，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：

，

解得：

∴综上所述：或．

（3）存在，

过F点作AD的垂线，交AD于G点，设FG为h，

∵，

∴，

∴，

∴，

①当点F再AD的下方，点E和点C重合时，如图所示：

在△AGF中，由勾股定理得：

,

∴,

在△EHF中，由勾股定理得：

，

，

当点F在AD的上方时，点E和点C重合，如图所示：

在△AGF中，由勾股定理得：

,

∴,

在△EHF中，由勾股定理得：

，

，

∴在BC边上存在两个不同位置的点E，，

故答案为：．