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如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点,过点D作⊙O的切线精英家教网交AC边于点E.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若∠ABC=30°,求tan∠BCO的值.
分析:(1)连接OD,根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC,根据切线的性质可证明DE⊥OD,进而得证.
(2)过O作OF⊥BD,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长,根据三角函数的定义求解.
解答:精英家教网(1)证明:连接OD.
∵O为AB中点,D为BC中点,
∴OD∥AC.
∵DE为⊙O的切线,
∴DE⊥OD.
∴DE⊥AC.

(2)解:过O作OF⊥BD,则BF=FD.
在Rt△BFO中,∠B=30°,
∴OF=
1
2
OB,BF=
3
2
OB.
∵BD=DC,BF=FD,
∴FC=3BF=
3
3
2
OB.
在Rt△OFC中,
tan∠BCO=
OF
FC
=
1
2
OB
3
3
2
OB
=
1
3
3
=
3
9
点评:本题比较复杂,综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点,有一定的综合性.
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