Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．

（1）若a=1，求m和b的值；

（2）求的值；

（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=，b=1+；（2）=1+；（3）见解析．

【解析】（1）由a=1，根据正方形的性质及已知条件得出C（2，1）．将C点坐标代入y=mx2，求出m=，则抛物线解析式为y=x2，再将F（2b，2b+1）代入y=x2，即可求出b的值；

（2）由正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，得出C（2a，a）．将C点坐标代入y=mx2，求出m=，则抛物线解析式为y=x2，再将F（2b，2b+a）代入y=x2，整理得出方程b2﹣2ab﹣a2=0，把a看作常数，利用求根公式得出b=（1±）a（负值舍去），那么=1+；

（3）先利用待定系数法求出直线FD的解析式为y=x+a．再求出M点坐标为（2a﹣2a，3a﹣2a）．又F（2a+2a，3a+2a），利用中点坐标公式得到以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），再求出O′到直线AB（y=﹣a）的距离d的值，以FM为直径的圆的半径r的值，由d=r，根据直线与圆的位置关系可得以FM为直径的圆与AB所在直线相切．

解：（1）∵a=1，

∴正方形ABCD的边长为2，

∵坐标原点O为AD的中点，

∴C（2，1）．

∵抛物线y=mx2过C点，∴1=4m，解得m=，

∴抛物线解析式为y=x2，

将F（2b，2b+1）代入y=x2，

得2b+1=×（2b）2，b=1±（负值舍去）．

故m=，b=1+；

（2）∵正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，

∴C（2a，a）．

∵抛物线y=mx2过C点，∴a=m4a2，解得m=，

∴抛物线解析式为y=x2，

将F（2b，2b+a）代入y=x2，

得2b+a=×（2b）2，

整理得b2﹣2ab﹣a2=0，解得b=（1±）a（负值舍去），

∴=1+；

（3）以FM为直径的圆与AB所在直线相切．

理由如下：∵D（0，a），

∴可设直线FD的解析式为y=kx+a，

∵F（2b，2b+a），∴2b+a=k2b+a，解得k=1，

∴直线FD的解析式为y=x+a．

将y=x+a代入y=x2，

得x+a=x2，解得x=2a±2a（正值舍去），

∴M点坐标为（2a﹣2a，3a﹣2a）．

∵F（2b，2b+a），b=（1+）a，∴F（2a+2a，3a+2a），

∴以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），

∴O′到直线AB（y=﹣a）的距离d=3a﹣（﹣a）=4a，

∵以FM为直径的圆的半径r=O′F==4a，

∴d=r，

∴以FM为直径的圆与AB所在直线相切．

“点睛”本题是二次函数的综合题型，其中涉及到正方形的性质，待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，一元二次方程的求根公式，直线与抛物线交点坐标的求法，直线与圆的位置关系．综合性较强，难度适中．正确求出抛物线的解析式是解题的关键．