Question

【题目】某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线l同旁有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得PA＋PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且PA＋PB的最小值为．

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA＋PE的最小值为 ；

（2）代数应用：求代数式＋ (0≤x≤3)的最小值．

（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使BM＋MN的值最小，最小值是 ；

Answer 1

【答案】（1）.（2）5.（3）.

【解析】

（1）根据轴对称-最短路线问题解答；

（2）作点A关于BC的对称点D，连接ED交BC于P，则PA+PE的值最小，连接BD，根据勾股定理求出DE即可．

（3）设点B关于AC的对称点为B′，根据垂线段最短及两点之间，线段最短可知当B′、M、N三点共线且B′N⊥AB时BM+MN的值最小．

（1）

如图，PA＋PE的最小值为A’E的长度

作EF⊥AC，∵E是AB的中点

∴EF= ,

∴ .

(2)构造图形如图所示，

其中：AB＝3，AC＝1，DB＝3，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．

∵PC＋PD＝＋，

∴所求的最小值就是求PC＋PD的最小值．

作点C关于AB的对称点C'，过C' 作C' E垂直DB的延长线于E．

则C' E＝AB＝3，DE＝3＋1＝4，C' D＝＝5

∴所求代数式的最小值是5．

(3)作点B关于AC的对称点B′，过B′作B′N⊥AB于N，交AC于M．

此时BM+MN的值最小．BM+MN=B′N．

理由：如图1，在AC上任取一点M1（不与点M重合），

在AB上任取一点N1，连接B′M1、BM1、M1N1、B′N1．

∵点B′与点B关于AC对称，

∴BM1=B′M1，

∴BM1+M1N1=B′M1+M1N1＞B′N1．

又∵B′N1＞B′N，BM+MN=B′N，

∴BM1+M1N1＞BM+MN．

计算：如图2

∵点B′与点B关于AC对称，

∴AB′=AB，

又∵∠BAC=30°，

∴∠B′AB=60°，

∴△B′AB是等边三角形．

∴B′B=AB=2，∠B′BN=60°．

又∵B′N⊥AB，

∴B′N=B′Bsin60°= ．

∴BM+MN的最小值是.