Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，3）为圆心的⊙A与x的负半轴交于点B（-4，0），与x的正半轴交于点C，与y轴的负半轴交于点D．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过点B、C、D的二次函数的解析式；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PCD被x轴平分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理可知，CO=OB=4，可得C点坐标；利用勾股定理可求出D点坐标；
（2）已知或已求出B、C、D三点坐标，设出一般式，利用待定系数法求解即可；
（3）先假设存在符合条件的点P，根据“存在点P，使得∠PCD被x轴平分”通过计算找到这个点，即可说明其存在．

解答：解：（1）利用垂径定理可得C（4，0），（2分）
利用勾股定理可求出半径为5，从而可得D（0，-2）（2分）

（2）把点B（-4，0）、C（4，0）、D（0，-2）代入解析式得，

16a+4b+c=0 c=-2 16a-4b+c=0

，
解得a=-

1

8

，b=0，c=-2．
二次函数的解析式为y=

1

8

x²-2．（3分）．

（3）假定在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PCD被x轴平分．
由于∠OCD是锐角，
所以∠PCO也是锐角．
设PC与y轴的正半轴交于点E．则由对称性可得E（0，2），
设直线EC的解析式为y=-

1

2

x+2
解方程组

y= 1 8 x2-2 y=- 1 2 x+2

得

x=-8 y=6

或

x=4 y=0

．
即直线EC与抛物线的交点为C（4，0）和P（-8，6）．
所以在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PCD被x轴平分．
点P的坐标为（-8，6）．（3分）
（注：也可过点P作x轴的垂线PM，利用：△PCM∽△DOC，找到P的横纵坐标关系代入y=-

1

2

x+2求解．）

点评：此题考查了垂径定理、用待定系数法求函数解析式和函数交点坐标与方程组的解的关系，（3）是结论开放性题目，需要进行探索．