Question

【题目】定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1： 的长轴长是4，椭圆C2： 短轴长是1，点F1 ， F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C1 ， C2的方程；
（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m， ． ∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即 ，
∴ ，即
∴ ，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，
∴椭圆C1的方程是 ，椭圆C2的方程是 ；
（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．
联立： ，得 ，即 ，
∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
则 ， ，∴ ，
△F2MN的高即为点F2到直线 的距离h= = ，
∴△F2MN的面积 ，
∵ ，等号成立当且仅当 ，即 时，
∴ ，即△F2MN的面积的最大值为 ．
【解析】（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n= ，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为： ．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S= ，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．