Question

18．如图，在?ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE=$\frac{1}{2}$AB，连接CE，BF．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）若AB=10，AD=6，∠A=60°，试求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，且AB=DC．由F是CD的中点，得到CF=$\frac{1}{2}$CD．根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，过点C作CH⊥BE于点H．解直角三角形得到BH=$\frac{1}{2}$CB=3，CH=3$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 证明：（1）在?ABCD中，AB∥CD，且AB=DC．
∵F是CD的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD．
又∵BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴CF=BE，且CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形；

（2）解：如图，过点C作CH⊥BE于点H．
在?ABCD中，∵∠A=60°，
∴∠CBE=60°．
∵AB=10，AD=6，
∴CB=AD=6，
∴BH=$\frac{1}{2}$CB=3，CH=3$\sqrt{3}$．
在?BECF中，BE=CF=$\frac{1}{2}$CD=5，则EH=2．
∴在Rt△CHE中，根据勾股定理知CE=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{31}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．