Question

3、如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，且∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC：CB=1：2，且AB=9，求⊙O的半径及sinA的值．

Answer 1

分析：（1）要证PA是⊙O的切线，只要连接OP，再证∠APO=90°即可．
（2）由切割线定理，勾股定理求出⊙O的半径，在直角三角形OAP中根据三角函数的定义求出sinA的值．

解答：证明：（1）连接OP，
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°，
∴∠ODC+∠COD=90°；
∵OP=OD，
∴∠OPC=∠ODC，
∵∠APC=∠COD，
∴∠OPC+∠APC=90°，
∴∠APO=90°，
∴AP是⊙O的切线；

解：（2）∵PD⊥BE，BE为直径，
∴PC²=BC•CE；
设OC=x，
∵OC：CB=1：2，
∴CB=2x，CE=4x，
∴PC²=2x•4x=8x²；
∵AC=AB+BC，AB=9，
∴AC²=（9+2x）²，由勾股定理，得AP²=AC²+PC²=（9+2x）²+8x²；
又∵AP是⊙O的切线，ABE是⊙O的割线，
∴AP²=AB•AE，
即（9+2x）²+8x²=9×（9+6x），
解得：x₁=1.5，x₂=0（舍去）；
∴⊙O的半径OP=OB=3x=4.5，
∴sinA=OP：AO=4.5：13.5=1：3．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．