Question

【题目】我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，a2有最小值0．
（应用）：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=___1；
（2）代数式m2+3的最小值是____3；
（探究）：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+9
=n2+4n+4+5
=（n+2）2+5
∴当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5．
请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值．
（拓展）：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值．
（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）3；（3）3；（4）y≤15.

【解析】

（1）由（x-1）2≥0可得x=1时，取得最小值0；
（2）由m2≥0知m2+3≥3可得答案；
（3）将方程变形为（m-4）2+（n+1）2=0，由非负数性质求得m、n的值即可得；
（4）由y=-4t2+12t+6=-4（t-）2+15知-4（t-）2+15≤15，从而得出答案．

（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=1，
故答案为：1；
（2）代数式m2+3的最小值是在m=0时，最小值为3，
故答案为：3．
（3）∵m2+n2-8m+2n+17=0，
∴（m-4）2+（n+1）2=0，
则m=4、n=-1，
∴m+n=3；
（4）y=-4t2+12t+6
=-4（t2-3t）+6
=-4（t2-3t+-）+6
=-4（t-）2+15，
∵（t-）2≥0，
∴-4（t-）2≤0，
则-4（t-）2+15≤15，即y≤15．