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给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形，如图，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“加倍”矩形，请你解决下列问题：

（1）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由。
（2）当矩形的长和宽分别为m，n时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，说明理由。

解：（1）不存在　　
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在。
（2）存在
设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y
则

x，y就是关于A的方程

的两个正根
∵

当m，n不同时为零时，此题中，m＞0，n＞0
∴

∴方程有两个不相等的正实数根x和y
即：存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形。

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（1）当矩形的长和宽分别为1,2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由;
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由.