Question

18．如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，连结AE与BD，试探究线段AE与BD的数量关系和位置关系．

Answer 1

分析 根据SAS推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到AE=BD，∠CAE=∠CBD，根据余角的性质得到∠AFD=90°，于是得到结论．

解答 答：AE=BD，AE⊥BD，
证明：延长AE交BD于F，
∵△ABC、△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，
∵∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AE⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质的应用，解此题的关键是推出△ACE≌△BCD，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．