Question

19．如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，
得：a=-1+4，解得：a=3，
∴点A的坐标为（1，3）．
把点A（1，3）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，
得：3=k，
∴反比例函数的表达式y=$\frac{3}{x}$，
联立两个函数关系式成方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．

∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），
∴点D的坐标为（3，-1）．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-2x+5．
令y=-2x+5中y=0，则-2x+5=0，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{5}{2}$，0）．
S_△PAB=S_△ABD-S_△PBD=$\frac{1}{2}$BD•（x_B-x_A）-$\frac{1}{2}$BD•（x_B-x_P）=$\frac{1}{2}$×[1-（-1）]×（3-1）-$\frac{1}{2}$×[1-（-1）]×（3-$\frac{5}{2}$）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及轴对称中的最短线路问题，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；（2）找出点P的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．