Question

（11·十堰）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。
（1）求证：DE是半圆的切线；
（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。

Answer 1

证明：（1）如图，连接OD，

则OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，△AED由△ACD对折得到，所以∠CDA=∠EDA,
又CD⊥AB，∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D在半圆O上，
∴DE是半圆的切线。
（2）四边形ODFA是菱形。

在Rt△OCD中，∠ODC=30°，∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°。
∴OD//AF，∠FAO=60°，又∵OF=OA，∴△FAO是等边三角形，∴OA=AF，∴OD=AF，
∴四边形ODFA是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形ODFA是菱形.

略